Casi siempre las personas suelen NO distinguir entre ambas palabras cuando la RAE tiene posturas muy diferentes (parecidas) para ellas.
Avisar:
1. tr. Dar noticia de algún hecho.
2. tr. Advertir o aconsejar.
3. tr. Llamar a alguien para que preste un servicio. Avisar al médico. Avisar al electricista.
4. tr. Prevenir a alguien de algo.
5. prnl. ant. Instruirse, informarse del estado de algo.
Amenazar:
1. tr. Dar a entender con actos o palabras que se quiere hacer algún mal a alguien.
2. tr. Dar indicios de estar inminente algo malo o desagradable. U. t. c. intr.
3. (Por las amenazas y voces con que suele conducirse; cf. cat. menar). tr. desus. Conducir, guiar el ganado.